Question

18．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}\\ y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$（k為參數(shù)）和直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將曲線C的方程化為普通方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且P（2，1）為弦AB的中點(diǎn)，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由$y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{y}{2}=-1+\frac{2}{{1+{k^2}}}$，即$\frac{y}{2}+1=\frac{2}{{1+{k^2}}}$，又$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，兩式相除得$k=\frac{x}{2y+4}$，代入$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$整理得C的普通方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得（4sin²θ+cos²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0．由P為AB的中點(diǎn)，可得$\frac{4cosθ+8sinθ}{{4{{sin}^2}θ+cs{o^2}θ}}=0$．化簡(jiǎn)可得直線AB的斜率，即可得出AB直線方程．

解答 解：（1）由$y=\frac{{2（1-{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{y}{2}=-1+\frac{2}{{1+{k^2}}}$，即$\frac{y}{2}+1=\frac{2}{{1+{k^2}}}$，又$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，兩式相除得$k=\frac{x}{2y+4}$，
代入$x=\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，得$\frac{{8×\frac{x}{2y+4}}}{{1+{{（\frac{x}{2y+4}）}^2}}}=x$，整理得$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，即為C的普通方程．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosθ\\ y=1+tsinθ\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，
整理得（4sin²θ+cos²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0．
由P為AB的中點(diǎn)，則$\frac{4cosθ+8sinθ}{{4{{sin}^2}θ+cs{o^2}θ}}=0$．
∴cosθ+2sinθ=0，即$tanθ=-\frac{1}{2}$，故${l_{AB}}：y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，即$y=-\frac{1}{2}x+2$，
所以所求的直線方程為x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程h化為普通方程及其應(yīng)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．