Question

10．已知圓O：x²+y²=1和拋物線E：y=x²-2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）已知直線l和圓O相切，與拋物線E交于M，N兩點(diǎn)，且滿足OM⊥ON，求直線l的方程；
（2）過(guò)拋物線E上一點(diǎn)P（x₀，y₀）作兩直線PQ，PR和圓O相切，且分別交拋物線E于Q，R兩點(diǎn)，若直線QR的斜率為$-\sqrt{3}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由l和圓O相切，得$\frac{|b|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$．即b²=k²+1．由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ y={x^2}-2\end{array}\right.$消去y，并整理得x²-kx-b-2=0，利用OM⊥ON，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，即可求直線l的方程；
（2）設(shè)l_QR：y-y₀=k₁（x-x₀），由直線和圓相切，得$\frac{{|{y_0}-{k_1}{x_0}|}}{{\sqrt{k_1^2+1}}}=1$，即$（x_0^2-1）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-1=0$．
設(shè)l_PR：y-y₀=k₂（x-x₀），同理可得：$（x_0^2-1）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-1=0$．故k₁，k₂是方程$（x_0^2-1）k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-1=0$的兩根，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)l：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由l和圓O相切，得$\frac{|b|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$．
∴b²=k²+1．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ y={x^2}-2\end{array}\right.$消去y，并整理得x²-kx-b-2=0，∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b-2．
由OM⊥ON，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0．
∴$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+kb（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$，
∴（1+k²）（-b-2）+k²b+b²=0，
∴b²（-b-2）+（b²-1）b+b²=0．
∴b²+b=0．
∴b=-1或b=0（舍）．
當(dāng)b=-1時(shí)，k=0，故直線l的方程為y=-1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
則${k_{QR}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{（x_1^2-2）-（x_2^2-2）}{{{x_1}-{x_2}}}={x_1}+{x_2}$．
∴${x_1}+{x_2}=-\sqrt{3}$．
設(shè)l_QR：y-y₀=k₁（x-x₀），由直線和圓相切，得$\frac{{|{y_0}-{k_1}{x_0}|}}{{\sqrt{k_1^2+1}}}=1$，
即$（x_0^2-1）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-1=0$．
設(shè)l_PR：y-y₀=k₂（x-x₀），同理可得：$（x_0^2-1）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-1=0$．
故k₁，k₂是方程$（x_0^2-1）k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-1=0$的兩根，故${k_1}+{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{x_0^2-1}$．
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+{y_0}-{k_1}{x_0}\\ y={x^2}-2\end{array}\right.$得$x_{\;}^2-k_1^{\;}x+{k_1}{x_0}-{y_0}-2=0$，故x₀+x₁=k₁．
同理x₀+x₂=k₂，則2x₀+x₁+x₂=k₁+k₂，即$2{x_0}-\sqrt{3}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{x_0^2-1}$．
∴$2{x_0}-\sqrt{3}=\frac{{2{x_0}（x_0^2-2）}}{x_0^2-1}$，解${x_0}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$\sqrt{3}$．
當(dāng)${x_0}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，${y_0}=-\frac{5}{3}$；當(dāng)${x_0}=\sqrt{3}$時(shí)，y₀=1．
故$P（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{5}{3}）$或$P（\sqrt{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．