Question

 如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．

(Ⅰ) 求異面直線EF與BC所成角的大��；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)30°(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 延長AD，F(xiàn)E交于Q．

因為ABCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．

在梯形ADEF中，因為DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．

(Ⅱ) 方法一：

設AB＝x．取AF的中點G．由題意得

DG⊥AF．

因為平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以

AB⊥平面ADEF，

所以

AB⊥DG．

所以

DG⊥平面ABF．

過G作GH⊥BF，垂足為H，連結DH，則DH⊥BF，

所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得

DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得

＝，

所以

GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得

DH＝．

因為cos∠DHG＝＝，得

x＝，

所以  AB＝．

方法二：設AB＝x．

以F為原點，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fxyz．則

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以 ＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則     

所以，可取＝(，1，)．

因為cos<，>＝＝，得

x＝，

所以

AB＝．

考點：異面直線所成角  二面角

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，異面直線所成角、二面角等基礎知識，空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。