Question

15．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸近線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}$=1相交與點(diǎn)P，若|OP|=2，則橢圓離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得出它的一條漸近線方程為：y=$\sqrt{3}$x，其傾斜角為60°，從而得到∠POx=60°又|OP|=2，故可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程得a從而求出橢圓的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得出它的一條漸近線方程為：y=$\sqrt{3}$x，其傾斜角為60°，
設(shè)這條漸近線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}$=1相交于點(diǎn)P，
則∠POx=60°且|OP|=2，故可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．
代入橢圓方程得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}-4}$=1，⇒a=$\sqrt{3}$+1或a=$\sqrt{3}$-1＜2（不合，舍去）
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}$=1的a=$\sqrt{3}$+1，b²=2$\sqrt{3}$，
∴c=2，
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1．
故選：A．

點(diǎn)評 本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．