Question

3．已知△ABC中，cosB=$\frac{12}{13}$，邊c=12$\sqrt{3}$．
（1）若函數(shù)y=3cos²x+sin²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，當(dāng)x=C時(shí)取得最小值，求變a，b的長(zhǎng)；
（2）若sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，求sinA的值和邊a的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得：y_min=2cos（2C+$\frac{π}{3}$）+2=0，可得2C+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，k∈Z，解得C=$\frac{π}{3}$，由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinB，由正弦定理可求得b的值，利用三角形內(nèi)角和定理可求sinA，由正弦定理即可解得a的值．
（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cos（A-B），利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA=sin[（A-B）+B]．從而可求cosA，sinC=sin（A+B）的值，由正弦定理可解得a的值．

解答 解：（1）∵y=3cos²x+sin²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2×$\frac{1+cos2x}{2}$+1-$\sqrt{3}$sin2x
=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2，
∵y_min=2cos（2C+$\frac{π}{3}$）+2=2-2=0，此時(shí)由題意可得，2C+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，k∈Z，解得：C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
∵cosB=$\frac{12}{13}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$，c=12$\sqrt{3}$．
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{12\sqrt{3}×\frac{5}{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{120}{13}$，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{5}{13}×\frac{1}{2}+\frac{12}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5+12\sqrt{3}}{26}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{12\sqrt{3}×\frac{5+12\sqrt{3}}{26}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{60+144\sqrt{3}}{13}$．
（2）∵cosB=$\frac{12}{13}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$，c=12$\sqrt{3}$．
∵sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，可求：cos（A-B）=±$\frac{4}{5}$，
∴①當(dāng)cos（A-B）=$\frac{4}{5}$時(shí)，可得：
sinA=sin[（A-B）+B]=sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$，
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{33}{65}$，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{56}{65}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{33}{65}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{837}{845}$，
由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{567840\sqrt{3}}{54405}$=$\frac{37856\sqrt{3}}{3627}$．
②當(dāng)cos（A-B）=-$\frac{4}{5}$時(shí)，可得：
sinA=sin[（A-B）+B]=sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$．
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=-$\frac{63}{65}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{16}{65}$×$\frac{12}{13}$+（-$\frac{63}{65}$）×$\frac{5}{13}$=-$\frac{123}{845}$（舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了分類討論思想，計(jì)算量較大，屬于中檔題．