Question

9．已知半徑為2的扇形AOB圓心角為$\frac{π}{3}$，其內(nèi)接矩形MNPQ如圖所示，求矩形面積最大值．

Answer 1

分析 將圖二可拆分成兩個(gè)圖一的形式，可以類(lèi)比得到結(jié)論．圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}$r²tan$\frac{α}{2}$，由此可得結(jié)論．

解答 解：圖一，設(shè)半徑為2的扇形AOB圓心角為2α=$\frac{π}{3}$，∠MOQ=x，則MQ=rsinx，
在△OMN中，$\frac{MN}{sin（2α-x）}=\frac{r}{sin（180°-2α）}$，
∴MN=$\frac{rsin（2α-x）}{sin2α}$，
∴矩形面積S=$\frac{{r}^{2}sin（2α-x）sinx}{sin2α}$=$\frac{{r}^{2}}{2sin2α}$[cos（2x-2α）-cos2α]≤$\frac{{r}^{2}}{2sin2α}$[1-cos2α]=$\frac{1}{2}$r²tanα，
當(dāng)且僅當(dāng)x=α?xí)r，取得最大值，故圖一矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}$r²tanα=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×tan30°$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
圖二可拆分成兩個(gè)，圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故根據(jù)圖1得出的結(jié)論，可得矩形面積的最大值為$\frac{1}{2}$r²tan$\frac{α}{2}$，
而圖二時(shí)由兩個(gè)這樣的圖形組成，所以?xún)蓚�(gè)則為r²tan$\frac{α}{2}$．
故答案為：r²tan$\frac{α}{2}$=2²×tan$\frac{π}{12}$=4（2-$\sqrt{3}$），
顯然$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞4（2-$\sqrt{3}$），
所以?xún)?nèi)接矩形的最大面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查扇形內(nèi)接矩形面積問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖之間的聯(lián)系，利用已有的結(jié)論進(jìn)行解題．