Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）（a≠b），則函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2a+4，x≤0}\\{\frac{a{x}^{2}+b}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的最小值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由f（a）=f（b）得ab=1，然后結(jié)合一元二次函數(shù)和基本不等式的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：若f（a）=f（b）（a≠b），
不妨設a＜b，
則0＜a＜1，b＞1，
則-lna=lnb，即lna+lnb=lnab=0，
即ab=1，則b=$\frac{1}{a}$，
則當x≤0時，g（x）=x²+2a+4，為減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為g（0）=2a+4＞4，
當x＞0時，g（x）=$\frac{a{x}^{2}+b}{x}$=ax+$\frac{x}$=ax+$\frac{1}{ax}$≥2$\sqrt{ax•\frac{1}{ax}}$=2，
當且僅當ax=$\frac{1}{ax}$，即x=$\frac{1}{a}$時，取等號，
∴函數(shù)的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解和應用，根據(jù)對數(shù)的運算法則和性質(zhì)求出ab=1，以及利用基本不等式以及一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．