Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為

2

-1，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，使

MP

•

MQ

為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

a-c= 2 -1 e= c a = 2 2

?

a= 2 c=1 b=1

，由此能導(dǎo)出所求橢圓E的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+，由1

x2+2y2=2 x=ky+1

(1) (2)

，整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0，

y1+y2=- 2k k2+2 y1•y2=- 1 k2+2

，假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得

MP

•

MQ

為定值．由此入手能夠推導(dǎo)出存在定點(diǎn)M(

5

4

，0)，使得對于經(jīng)過（1，0）點(diǎn)的任意一條直線l均有

MP

•

MQ

=-

7

16

（恒為定值）．

解答：解：（Ⅰ）

a-c= 2 -1 e= c a = 2 2

?

a= 2 c=1 b=1

，
∴所求橢圓E的方程為：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+1

x2+2y2=2 x=ky+1

(1) (2)

，
把（2）代入（1）整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0（3）
∴

y1+y2=- 2k k2+2 y1•y2=- 1 k2+2

，（8分）
假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得

MP

•

MQ

為定值

MP

•

MQ

=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（ky₁+1-m）（ky₂+1-m）+y₁y₂=（k²+1）y₁y₂+k（1-m）（y₁+y₂）+（1-m）²=-

(k2+1)

k2+2

-

2k2(1-m)

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)k2-1

k2+2

+(1-m)2=

(2m-3)(k2+2)+(5-4m)

k2+2

+(1-m)2
當(dāng)且僅當(dāng)5-4m=0，即m=

5

4

時(shí)，

MP

•

MQ

=-

7

16

（為定值）．這時(shí)M(

5

4

，0)（12分）
再驗(yàn)證當(dāng)直線l的傾斜角α=0時(shí)的情形，此時(shí)取P(-

2

，0)，Q(

2

，0)

MP

=(-

2

-

5

4

，0)，

MQ

=(

2

-

5

4

，0)

MP

•

MQ

=(-

2

-

5

4

)•(

2

-

5

4

)=-

7

16

∴存在定點(diǎn)M(

5

4

，0)使得對于經(jīng)過（1，0）點(diǎn)的任意一條直線l均有

MP

•

MQ

=-

7

16

（恒為定值）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和點(diǎn)M的存在性質(zhì)的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．