Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2

2

，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-2

2

x-2y=0的圓心C．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)Q是橢圓E上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心的坐標(biāo)，代入橢圓的方程求得a和b的關(guān)系，利用橢圓的離心率求得a和b另一關(guān)系，聯(lián)立求得a和b．則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，則M的坐標(biāo)可得，設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)題意可（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁）求得x₁和y₁代入橢圓方程求得k．

解答：解：（1）整理圓的方程可得（x-

2

）²+（y-1）²=3，圓心為（

2

，1）
依題意可得

a2-b2 a2 = 1 2 2 a2 + 1 b2 =1

求得a=2，b=

2

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1

（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k），
設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三點(diǎn)共線，|

MQ

|=2|

QF

|，
根據(jù)題意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁）解得x₁=-2，y₁=-k或x₁=-

2

3

，y₁=

k

3

又Q在橢圓C上，故

4

4

+

k2

2

=1或

4 9

4

+

k2 9

2

=1
解得k=0，k=±4
綜上，直線l的斜率為0或±4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和基本的運(yùn)算能力，推理能力．