已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］，問(wèn)是否存在正數(shù)k,使得{bn}成等差數(shù)列？若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

k=1時(shí),{bn}成等差數(shù)列.


解析:

假設(shè)存在正數(shù)k,使得{bn}成等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1.

而bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］

=lg(ka1·a2·a3·…·an)

=lg(k·a1n·)

=lga1+(n-1)lg+lg.

∴bn+1-bn=(lga1+nlg+lg)-［lga1+(n-1)lg+lg］

=lg+lg-lg.

若{bn}為等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)lg-lg=0,

即lg=lg,=,

∴k=1.

因此當(dāng)k=1時(shí),{bn}成等差數(shù)列.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令Tn=
1
S
2
1
+
1
2
S
2
2
+…+
1
nS
2
n
，求證Tn≤
2n-1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{
1
S
2
n
S
2
n+1
}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•重慶模擬）已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，且a1=1，Sn=
1
2
(an+
1
an
)．
（I）分別求S22，S32的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（III）求證：
1
2S1
+
1
3S2
+…+
1
(n+1)Sn
＜2(1-
1
Sn+1
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）證明{Sn2}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列數(shù)學(xué)公式的前n項(xiàng)和．

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