Question

已知{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）證明{S_n²}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）令n=1，得a₁=1，令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．由此得a2=

2

-1．
（Ⅱ）2S_na_n-a₂ⁿ=1，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，所以S_n²-S_n-1²=1=1．故S_n²是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．由此能求出求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）設(shè){

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n項(xiàng)和為T_n．Tn=

1

1×2

+

1

3×2

+…

1

n(n+1)

，再由一裂項(xiàng)求和法能求出其結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，則有2a₂¹-a₂¹=1a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．
∴a2=

2

-1（舍去負(fù)值）．（3分）
（Ⅱ）∵2S_na_n-a₂ⁿ=1，①又n≥2時(shí)有a_n=S_n-S_n-1，代入①式并整理得
S_n²-S_n-1²=1=1．
∴S_n²是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．（6分）
∴S_n²=1+n-1=n，∴an=sn-sn-1=

n

-

n-1

（n≥2），又a₁=1
∴an=

n

-

n-1

．（8分）
（Ⅲ）設(shè){

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n項(xiàng)和為T_n．
由（Ⅱ）知Tn=

1

1×2

+

1

3×2

+…

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

+．
即{

1

S 2 n S 2 n+1

}的前n項(xiàng)和為

n

n+1

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．