Question

已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=31，S_n是它的前n項(xiàng)的和，S₁₀=S₂₂
（1）求S_n；
（2）這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S₁₀=S₂₂，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式可知，從第11項(xiàng)到第22項(xiàng)的和等于0，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出第11項(xiàng)到第22項(xiàng)的和，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)后得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系式，把首項(xiàng)的值代入即可求出公差，利用首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可；
（2）根據(jù)（1）寫出的前n項(xiàng)和的公式，發(fā)現(xiàn)S_n與n成的是二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)取最大值的方法即可求出S_n的最大值及此時(shí)n的值．

解答：解：（1）∵S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀
S₂₂=a₁+a₂+…+a₂₂，又S₁₀=S₂₂
∴a₁₁+a₂+…+a₂₂=0
∴

12(a11+a22)

2

=0，即a₁₁+a₂₂=2a₁+31d=0，又a₁=31，
∴d=-2
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=31n-n(n-1)=32n-n2，
（2）∵S_n=32n-n²
∴當(dāng)n=16時(shí)，S_n有最大值，S_n的最大值是256．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，掌握二次函數(shù)求最值的方法，是一道中檔題．