Question

6．已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過點M（4，1），N（2，2）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為mx²+ny²=1，代入N．M的坐標，解方程即可得到所求；
（2）設出直線l的方程y=x+t，代入橢圓方程，運用判別式大于0和韋達定理，弦長公式，解方程可得t，即可得到所求直線方程．

解答 解：（1）設橢圓的方程為mx²+ny²=1，
代入M（4，1），N（2，2），即有
$\left\{\begin{array}{l}{16m+n=1}\\{4m+4n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{20}}\\{n=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）設直線l的方程為y=x+t，
代入橢圓的方程可得，5x²+8tx+4t²-20=0，
判別式為△=64t²-20（4t²-20）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-20}{5}$，
即有}AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8t}{5}）^{2}-\frac{4（4{t}^{2}-20）}{5}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
解得t=±1，檢驗判別式大于0成立．
則所求直線l的方程為y=x+1或y=x-1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意設出橢圓的方程為mx²+ny²=1，同時考查直線和橢圓相交的弦長問題，考查運算能力，屬于中檔題．