Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，圓心C在第二象限，半徑為

2

．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，求得圓心C（-

D

2

，-

E

2

）在x+y-1=0上，且半徑r=

1

2

D2+E2-12

=

2

．聯(lián)解得D、E的值，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）按直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)、不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況加以討論，分別設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于參數(shù)k、m的等式，解之即可得到滿足條件的直線l方程．

解答：解：（1）將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+

D

2

）²+（y+

E

2

）²=

1

4

（D²+E²-12）
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（-

D

2

，-

E

2

），半徑r=

1

2

D2+E2-12

∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，半徑為

2

．
∴-

D

2

-

E

2

-1=0且

1

2

D2+E2-12

=

2

，
解之得

D=2 E=-4

或

D=-4 E=2

結(jié)合圓心C在第二象限，得C的坐標(biāo)為（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圓C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2
（2）當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為y=kx，
可得

|-k-2|

1+k2

=

2

，解之得k=2±

6

，得直線l方程為y=（2±

6

）x，
當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l：x+y-m=0
可得

|-1+2-m|

2

=

2

，解之得m=-1或3
此時(shí)直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0
綜上所述，與圓C相切且在x軸、y軸上的截距相等的直線l方程為y=（2±

6

）x或x+y+1=0或x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓C滿足的條件，求圓C方程并求與圓C相切的直線l方程，著重考查了圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．