Question

4．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l過點A（1，0）．
（1）求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；
（2）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（3）若直線l與圓C相交于P，Q兩點，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，能求出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑．
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l：x=1；若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為kx-y-k=0，由圓心（3，4）到已知直線l的距離等于半徑2，得$k=\frac{3}{4}$，由此能求出直線l的方程．
（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線l方程為kx-y-k=0，圓心到直l的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，求出三角形CPQ的面積的最大值為2，由$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，能求出直線l方程．

解答 解：（1）∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑為2．…3分
（2）①若直線l的斜率不存在，則直線l：x=1，符合題意．…5分
②若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l的距離等于半徑2，即$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$，
所求直線l的方程是x=1或3x-4y-3=0；…7分
（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，
設(shè)直線l方程為kx-y-k=0，則圓心到直l的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
又∵三角形CPQ面積$S=\frac{1}{2}×d×2\sqrt{4-{d^2}}=d\sqrt{4-{d^2}}=\sqrt{{d^2}（4-{d^2}）}$  $≤\frac{{{d^2}+（4-{d^2}）}}{2}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)d²=4-d²，即$d=\sqrt{2}$時取等號，
三角形CPQ的面積的最大值為2，由$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，得k=1或k=7，
此時直線l方程為x-y-1=0，或7x-y-7=0．…12分

點評 本題考查圓的圓心坐標(biāo)、半徑的求法，考查直線方程的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．