Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O₁與x軸正半軸及射線l：y=kx（x≥0）都相切．
（1）若k=$\frac{4}{3}$，且直線y=-2x+3被圓O₁所截得的弦長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求圓O₁的方程；
（2）若圓O₂與x軸正半軸及射線l也都相切，且與圓O₁都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2），且兩圓的半徑之積為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心O₁（a，b），推導(dǎo)出圓心O₁到直線y=$\frac{4}{3}x$的距離d₁=$\frac{|4a-3b|}{5}$=b，從而a=2b，再由直線y=-2x+3被圓O₁所截得弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得到（$\frac{|2a+b-3}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²=b²，由此能示出圓O₁的方程．
（2）設(shè)O₁、O₂在直線y=tx（t＞0）上，設(shè)O₁（m，mt），O₂（n，nt），則圓O₁：（x-m）²+（y-mt）²=（mt）²，圓O₂：（x-n）²+（y-nt）²=（nt）²，由點(diǎn)（2，2）在兩圓上，得到m，n是方程x²-（4+4t）x+8=0的兩根，從而mn=8，再由兩半徑之積（mt）（nt）=2，得到tan$θ=t=\frac{1}{2}$，從而k=tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{3}$，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心O₁（a，b），
圓心O₁到直線y=$\frac{4}{3}x$的距離d₁=$\frac{|4a-3b|}{5}$，
∵圓O₁與x軸正半軸及射線l：y=kx（x≥0）都相切．
∴$kcw4ewm_{1}=\frac{|4a-3b|}{5}$=b，
∴a=2b或b=-2a（舍），
∵直線y=-2x+3被圓O₁所截得弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴（$\frac{|2a+b-3}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²=b²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{5}}\\{b=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴圓O₁的方程為（x-2）²+（y-1）²=1或（x-$\frac{2}{5}$）²+（y-$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{25}$．
（2）設(shè)O₁、O₂在直線y=tx（t＞0）上，
設(shè)O₁（m，mt），O₂（n，nt），
則圓O₁：（x-m）²+（y-mt）²=（mt）²，
圓O₂：（x-n）²+（y-nt）²=（nt）²，
又點(diǎn)（2，2）在兩圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2-m）^{2}+（2-mt）^{2}=（mt）^{2}}\\{（2-n）^{2}+（2-nt）^{2}=（nt）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-（4+4t）m+8=0}\\{{n}^{2}-（4+4t）n+8=0}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程x²-（4+4t）x+8=0的兩根，∴mn=8，
又兩半徑之積（mt）（nt）=2，∴${t}^{2}=\frac{1}{4}$，t＞0，t=$\frac{1}{2}$，
則tan$θ=t=\frac{1}{2}$，
k=tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{3}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{4}{3}x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程和直線方程的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓相切、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．