Question

記公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿ•a_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的關(guān)系列出方程組，求出首項與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ）化簡b_n=2ⁿ•a_n，然后利用錯位相減法直接求解T_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答： 解：（I）由a₃，a₅，a₈成等比數(shù)列得a₅²=a₃a₈，又S₃=9，（1分）
由此得

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

，解得，a₁=2，d=1（5分）
∴a_n=n+1，S_n=

n(2+n+1)

2

=

1

2

n²+

3

2

n（7分）
（II）b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ
2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（9分）
兩式相減得，
-T_n=2•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹（11分）
=-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）

點評：本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．