Question

12．如圖，在正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC的中點，EF⊥DE，且BC=1，
（1）求點A到平面EFD的距離
（2）設(shè)BD中點為M，空間中的點Q，G滿足$\overrightarrow{CQ}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AG}$，
點P是線段CQ上的動點，若二面角P-AB-D的大小為α，二面角P-BG-D的大小為β，求cos（α+β）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，結(jié)合等積法，可得點A到平面EFD的距離
（2）以AB，AD，AC為邊，將四面體補形成正方體ABGD-CB₁QD₁，正方體的棱長為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過點P作PO⊥面ABGD，由題意α=∠PRO，β=∠PSOcos（α+β）=cos（∠PRO+∠PSO），要求cos（α+β）的最大值即求cos（∠PRO+∠PSO）的最大值，即求∠PRO+∠PSO的最大值．

解答 解：（1）在正三棱錐A-BCD中，AC⊥BD，
∵E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF∥AC，
又∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
又∵BD∩DE=D，
∴AC⊥面BAD，
則AB=AD=AC，且三條線兩兩垂直．
∵BC=1，
∴AB=AD=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，${S_{△EFD}}=\frac{{\sqrt{5}}}{16}$，
點F到平面ADE的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
設(shè)A點到平面EFD的距離為d，
△ADE的面積${S_{△ADE}}=\frac{1}{8}$，
∵V_A-EFD=V_F-ADE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{16}$d=$\frac{1}{8}×\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以$d=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
則點A到平面EFD的距離為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（2）由題意：AB=AD=AC，且三條線兩兩垂直以AB，AD，AC為邊，
將四面體補形成正方體ABGD-CB₁QD₁，正方體的棱長為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，如圖所示：
過點P作PO⊥面ABGD，由題意α=∠PRO，β=∠PSOcos（α+β）=cos（∠PRO+∠PSO），
要求cos（α+β）的最大值即求cos（∠PRO+∠PSO）的最大值，
即求∠PRO+∠PSO的最大值，

設(shè)$OR=x（0＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
則tan∠PRO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x}$，tan∠PSO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-x}$，
tan（∠PRO+∠PSO）=$\frac{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-x}}{1-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x}•\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-x}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{x（\frac{\sqrt{2}}{2}-x）-\frac{1}{2}}$，
當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$時，${[tan（∠PRO+∠PSO）]_{max}}=-\frac{4}{3}$
此時cos（α+β）的最大值為$-\frac{3}{5}$．
（本題若采用建系，只要結(jié)果正確同樣也給分）

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點、線、面間的距離計算，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．