Question

7．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• B． 24π
• C． 4$\sqrt{3}$π
• D． 12π

Answer 1

分析 由題意可知，四面體A'-BCD頂點在同一個球面上，BC的中點就是球心，求出球的半徑，即可得到球的體積．

解答 解：平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A'-BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面體A'-BCD頂點在同一個球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中點就是球心，所以BC=2$\sqrt{3}$，球的半徑為：$\sqrt{3}$；
所以球的體積為：$\frac{4π}{3}×（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}π$．
故選：C．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查四面體的外接球的體積的求法，找出外接球的球心，是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，空間想象能力．