Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{c_n}滿足：c_n=na_n，且數(shù)列{c_n}的前n項和為（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若點P_n的坐標為（1，b_n）（n∈N^*），函數(shù)g（x）=ln（1+x²）在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）處的切線始終與OP_n平行（O為原點）．求證：當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

對任意n∈N^*都成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1、等比數(shù)列的定義及已知即可證明；
（II）利用導數(shù)研究切線的斜率和斜率計算公式可得b_n=

2tn

1+t2n

．當1＜t＜2，

1

bn

=

1

2

(

1

tn

+tn)單調遞增，可得

1

bn

＜

1

2

(

1

2n

+2n)．再利用等比數(shù)列的前n項和公式可得：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

(

1

t

+

1

t2

+…+

1

tn

)+

1

2

(t+t2+…+tn)＜

1

2

(1-

1

2n

)+2ⁿ-1=2n-

1

2

-

1

2n+1

．同理當

1

2

＜t＜1時，把上面的t換成

1

t

，同樣得出結論．于是當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-

1

2

-

1

2n+1

．由（I）可知：S_n+2=4×2^n-1，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n-a_n -

1

2

=2n-(2n)-

1

2

=2n-

1

( 2 )n

．要證明：當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

對任意n∈N^*都成立．只要證明：2n-

1

2

-

1

2n+1

＜2n-

1

( 2 )n

即可．

解答： 證明：（I）由題意可知：（n-1）S_n+2n=a₁+2a₂+…+na_n．
當n≥2時，（n-1）S_n+2n-[（n-2）S_n+2（n-1）]=na_n=n（S_n-S_n-1），
化為S_n+2=2（S_n-1+2），
∵n=1時，a₁=2，
∴數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列，首項為4，公比q=2；
（II）由函數(shù)g（x）=ln（1+x²），g′（x）=

2x

1+x2

，
∴在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）處的切線斜率k=

2tn

1+t2n

．
OP_n的斜率k′=b_n，
∵函數(shù)g（x）=ln（1+x²）在x=tⁿ（

1

2

＜t＜2，且t≠1）處的切線始終與OP_n平行，
∴k=k′，
∴b_n=

2tn

1+t2n

．
當1＜t＜2，

1

bn

=

1

2

(

1

tn

+tn)單調遞增，∴

1

bn

＜

1

2

(

1

2n

+2n)．
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

(

1

t

+

1

t2

+…+

1

tn

)+

1

2

(t+t2+…+tn)
=

1

2

•

1 t ( 1 tn -1)

1 t -1

+

1

2

•

t(tn-1)

t-1

＜

1

2

(1-

1

2n

)+2ⁿ-1=2n-

1

2

-

1

2n+1

．
同理當

1

2

＜t＜1時，把上面的t換成

1

t

，同樣得出結論．
∴當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-

1

2

-

1

2n+1

．
由（I）可知：S_n+2=4×2^n-1，∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，當n=1時也成立．
∴a_n-a_n -

1

2

=2n-(2n)-

1

2

=2n-

1

( 2 )n

．
要證明：當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

對任意n∈N^*都成立．
只要證明：2n-

1

2

-

1

2n+1

＜2n-

1

( 2 )n

即可．
化為

1

( 2 )n

＜

1

2

+

1

2n+1

．
當n=1時，左邊=

2

2

，右邊=

1

2

+

1

4

=

3

4

，∴左邊＜右邊；
當n=2時，左邊=

1

2

，右邊=

1

2

+

1

8

，∴左邊＜右邊；
當n≥3時，左邊＜

1

2

＜右邊，∴左邊＜右邊．
綜上可得：當

1

2

＜t＜2，且t≠1時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜a_n-a_n -

1

2

對任意n∈N^*都成立．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、遞推式的意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、不等式的證明，考查了對稱代換，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了放縮方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．