Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M為AD中點．
（Ⅰ） 證明MF⊥BD；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，
∴△ADF為正三角形
∵M為AD中點，∴MF⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴MF⊥平面ABCD
∴MF⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)AB=x．取AF的中點G．

由題意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=
在直角△BAF中，由=sin∠AFB=得，∴
在直角△DGH中，DG=，，∴DH=2
∵cos∠DHG==，∴x=，∴AB=
分析：（Ⅰ）證明MF⊥平面ABCD，即可得到結(jié)論；
（II）取AF的中點G，過G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計算能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．