Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF₁⊥PF₂，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A、[

  5

  5

  ，1）
• B、[

  2

  2

  ，1）
• C、（0，

  5

  5

  ]
• D、（0，

  2

  2

  ]

Answer 1

分析：先證明橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)是到橢圓的中心距離最短的點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF₁⊥PF₂，?c≥b，再利用a，b，c的關(guān)系，離心率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，
下面證明橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)是到橢圓的中心距離最短的點(diǎn)．
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），則

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，可得

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)．
∴|OP|²=

x

2 0

+

y

2 0

=

x

2 0

+b2(1-

x 2 0

a2

)=

c2

a2

x

2 0

+b2≥b²，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時(shí)取等號(hào)．
∴橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)是到橢圓的中心距離最短的點(diǎn)．
若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF₁⊥PF₂，則c≥b，∴c²≥b²=a²-c²，化為e2≥

1

2

，解得e≥

2

2

．
又e＜1，∴

2

2

≤e＜1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)是到橢圓的中心距離最短的點(diǎn)”的性質(zhì)、離心率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．