數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)an=
3-an-1
2
,n=2,3,4,…

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;an=(a1-1)(-
1
2
)n-1+1

(2)設(shè)bn=an
3-2an
,比較bn,bn+1的大小,其中n為正整數(shù).
分析:(1)由題條件知1-an=-
1
2
(1-an-1)
,所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1,公比為-
1
2
的等比數(shù)列,由此能求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)方法一:由題設(shè)條件知0<an
3
2
,故bn>0.那么,bn+12-bn2=an+12(3-2an+1)-an2(3-2an)=
9an
4
(an-1)2
.由此可知bn<bn+1,n為正整數(shù).
方法二:由題設(shè)條件知0<an
3
2
,an≠1
,所以bn+1=an+1
3-2an+1
=
(3-an)
an
2
.由此可知bn<bn+1,n為正整數(shù).
解答:解:(1)由an=
3-an-1
2
,n=2,3,4
,
整理得1-an=-
1
2
(1-an-1)

又1-a1≠0,所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1,公比為-
1
2
的等比數(shù)列,得an=1-(1-a1)(-
1
2
)n-1

(2)方法一:
由(1)可知0<an
3
2
,故bn>0.
那么,bn+12-bn2
=an+12(3-2an+1)-an2(3-2an
=(
3-an
2
)2(3-2×
3-an
2
)-
a
2
n
(3-2an)

=
9an
4
(an-1)2

又由(1)知an>0且an≠1,故bn+12-bn2>0,
因此bn<bn+1,n為正整數(shù).
方法二:
由(1)可知0<an
3
2
,an≠1

因?yàn)?span id="yc2pv2q" class="MathJye">an+1=
3-an
2
,
所以bn+1=an+1
3-2an+1
=
(3-an)
an
2

由an≠1可得an(3-2an)<(
3-an
2
)3
,
a
2
n
(3-2an)<(
3-an
2
)2an

兩邊開平方得an
3-2an
3-an
2
an

即bn<bn+1,n為正整數(shù).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和是Sn,存在常數(shù)A,B使an+Sn=An+B對任意正整數(shù)n都成立.
(1)設(shè)A=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若p<q,且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,求p,q的值.
(3)設(shè)A>0,A≠1,且
an
an+1
≤M
對任意正整數(shù)n都成立,求M的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a(a∈R),且an+1=
an-3
-an+4
an>3時(shí)
an≤3時(shí)
n=1,2,3,….
(I)若0<a<1,求a2,a3,a4,a5;
(II)若0<an<4,證明:0<an+1<4;
(III)若0<a≤2,求所有的正整數(shù)k,使得對于任意n∈N*,均有an+k=an成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8=(  )
A、0B、3C、8D、11

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島二模)已知數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若S10是數(shù)列{Sn}中的唯一最小項(xiàng),則數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浙江模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足an=
Sn
+
sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求證:{
Sn
}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和為Tn,若對任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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