Question

3．已知△ABC的面積為3，且滿足0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，設(shè)$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（θ）=sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinθ=3，由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得0≤AB•AC•cosθ≤6，求得0≤cotθ≤1，可得θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（θ）=sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．由θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（θ）的值域．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinθ=3，∴AB•AC•sinθ=6． 
由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得0≤AB•AC•cosθ≤6，故有0≤$\frac{6cosθ}{sinθ}$≤6，
求得0≤cotθ≤1，∴θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（2）函數(shù)f（θ）=sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ=$\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2θ）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ=sin（2θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
由θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2θ-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2θ-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．