Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF₂是面積為$\sqrt{3}$的正三角形，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．

Answer 1

分析 不妨設P在第一象限，F(xiàn)₂（c，0），由等邊三角形的面積公式可得c=2，得到P的坐標，再由橢圓的定義，可得a，由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程．

解答 解：不妨設P在第一象限，F(xiàn)₂（c，0），
由△POF₂是面積為$\sqrt{3}$的正三角形，可得
$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²=$\sqrt{3}$，解得c=2，
即有P（1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的定義可得，
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（1+2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$+$\sqrt{（1-2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$
=2+2$\sqrt{3}$，
解得a=1+$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=4+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4+2\sqrt{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{3}}$=1．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，解題的關鍵是運用等邊三角形的面積公式求得邊長，得到P的坐標，同時運用橢圓的定義．