Question

16．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=0.5c+bcosC，
（1）求角B的大�。�
（2）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{13}$，求a+c 的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：sinA=0.5sinC+sinBcosC，又利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA=sinBcosC+cosBsinC，進(jìn)而可求0.5sinC=cosBsinC，結(jié)合sinC≠0，可求cosB=$\frac{1}{2}$，利用B∈（0，π），利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值．
（2）利用三角形面積公式可求ac=4，進(jìn)而利用余弦定理即可得解a+c的值．

解答 解：（1）∵a=0.5c+bcosC，由正弦定理可得：sinA=0.5sinC+sinBcosC，
又∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴0.5sinC=cosBsinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{13}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：ac=4，
∵由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得13=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-12，
∴解得：a+c=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和配方法，屬于基礎(chǔ)題．