Question

4．如圖所示，在四棱錐A-BCDE中，AE⊥平面BCDE，△BCE為正三角形，BD和CE的交點F，恰好平分CE，AE=BE=2，∠CDE=120°，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）證明：平面ABD⊥平面AEC；
（2）求二面角B-CA-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的判定定理即可證明平面ABD⊥平面ACE
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面B-CA-E的余弦值．

解答 解：（1）∵AE⊥平面BCDE，BD?平面BCDE，
∴AE⊥BD，
∵△BCE是正三角形，BD和CE的交點恰好平分CE，
∴BD⊥EC，
∵EC∩AE=E，
∴BD⊥平面ACE
BD?平面ABD
∵平面ABD⊥平面ACE
（2）∵BD⊥EC，∴△EDC為等腰直角三角形，
∴ED=CD，
∵∠CDE=120°，∴∠DEC=30°，
則∠BED=60°+30°=90°，即BE⊥ED，
建立以E為坐標原點的空間直角坐標系如圖：
∵AE=BE=2，∠CDE=120°，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B（2，0，0），E（0，0，0），A（0，0，2），
又DE=BEtan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則D（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
設平面BCA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{EA}$=（0，0，2），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y-2=0}\end{array}\right.$，令z=1，則x=1，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
設平面CAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則z=0，x=-$\sqrt{3}$，即$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∵二面B-CA-E是銳二面角，
∴二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查面面垂直以及空間角的求解，根據(jù)條件建立空間直角坐標系，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強，難度較大．