Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長為ykm．
（1）設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由已知條件求出AO、BO、OP的長度，即可得到所求函數(shù)關(guān)系式；
（2）直接根據(jù)上面的結(jié)論求出其導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出其最值．
解答：解：（1）由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則，故
又OP=10-10tanθ，所以
所求函數(shù)關(guān)系式為
（2）
令y'=0得∵
當(dāng)時(shí)y'＜0，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)y'＞0，y是θ的增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處．
點(diǎn)評：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．解決這類問題的關(guān)鍵在于把文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號，用數(shù)學(xué)知識解題．