精英家教網(wǎng)如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關系式:
(Ⅰ)設∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(Ⅱ)設OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關系確定污水處理廠的位置,使鋪設的污水管道的總長度最短.
分析:(1)(i)根據(jù)題意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函數(shù)的關系可推得OP,從而得出y的函數(shù)關系式,注意最后要化為最簡形式,確定自變量范圍.(ii)已知OP,可得出OQ的表達式,由勾股定理推出OA,易得y的函數(shù)關系式.
(2)欲確定污水處理廠的位置,使鋪設的污水管道的總長度最短也就是最小值問題,(1)中已求出函數(shù)關系式,故可以利用導數(shù)求解最值,注意結果應與實際情況相符合.
解答:解:(Ⅰ)①由條件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
OA=
AQ
cosθ
=
10
cosθ
,故OB=
10
cosθ
,又OP=10-10tanθ,
所以y=OA+OB+OP=
10
cosθ
+
10
cosθ
+10-10tanθ
,
所求函數(shù)關系式為y=
20-10sinθ
cosθ
+10
(0≤θ≤
π
4
)

②若OP=x(km),則OQ=10-x,所以OA=OB=
(10-x)2+102
=
x2-20x+200

所求函數(shù)關系式為y=x+2
x2-20x+200
(0≤x≤10)


(Ⅱ)選擇函數(shù)模型①,y=
-10cosθ•cosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)
cos2θ
=
10(2sinθ-1)
cos2θ

令y′=0得sinθ=
1
2
,因為0<θ<
π
4
,所以θ=
π
6
,
θ∈(0,
π
6
)
時,y′<0,y是θ的減函數(shù);當θ∈(
π
6
,
π
4
)
時,y′>0,y是θ的增函數(shù),所以當θ=
π
6
時,ymin=10+10
3
.這時點P位于線段AB的中垂線上,在矩形區(qū)域內且距離AB邊
10
3
3
km處.
點評:本小題主要考查函數(shù)最值的應用.
①生活中的優(yōu)化問題,往往涉及到函數(shù)的最值,求最值可利用單調性,也可直接利用導數(shù)求最值,要掌握求最值的方法和技巧.
②在求實際問題中的最大值或最小值時,一般先設自變量、因變量,建立函數(shù)關系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意結果應與實際情況相符合.用導數(shù)求解實際問題中的最大(。┲禃r,如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點,那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點.
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