設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),又f'(0)=1,則函數(shù)f(x)的解析式為
f(x)=x+
1
3
x3
f(x)=x+
1
3
x3
分析:可令y=1可得f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x然后分別賦予x為1,2,3…,(x-1)將這(x-1)個(gè)式子相加再結(jié)合12+22+…+(x-1)2=
x(x-1)(2x-1)
6
可得f(x)=xf(1)+
x3-x
3
下面只需求出f(1)即可求解而f'(0)=1,兩邊求導(dǎo)即可求出f(1)=
4
3
再代入即可求出f(x).
解答:解:∵f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
∴令y=1則f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x
∴f(2)-f(1)=f(1)+12+1
f(3)-f(2)=f(1)+22+2

f(x)-f(x-1)=f(1)+(x-1)2+(x-1)
∴將上面(x-1)個(gè)式子相加可得f(x)-f(1)=(x-1)f(1)+[12+22+…+(x-1)2]+(1+2+3+…+(x-1))
∴f(x)=xf(1)+
x(x-1)(2x-1)
6
+
x(x-1)
2
=xf(1)+
x3-x
3

∴f(x)=f(1)+
x3-x
3

∵f'(0)=1
∴f(1)-
1
3
=1
∴f(1)=
4
3

∴f(x)=
4x
3
+
x3-x
3
=
1
3
x3+x

故答案為f(x)=
1
3
x3+x
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)解析式的求解,由于用到了利用遞推公式和疊加法以及12+22+…+(x-1)2=
x(x-1)(2x-1)
6
①再加上導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng)難度較大.解題的關(guān)鍵是利用y=1得出f(x+1)-f(x)=f(1)+x2+x再利用疊加法結(jié)合公式①得出f(x)=xf(1)+
x3-x
3
!
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0(其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).設(shè)a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3)
,則a、b、c三者的大小關(guān)系是( 。
A、a<b<c
B、c<a<b
C、c<b<a
D、b<c<a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n+1)=
2f(n)+n
2
(n∈N*),且f(1)=2,則f(20)為(  )
A、95B、97
C、105D、192

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求證:
(1)f(0)=0;
(2)f(3)=3f(1);
(3)f(
1
2
)=
1
2
f(1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)兩個(gè)函數(shù)值較大的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x) 為“倍約束函數(shù)”.給出下列函數(shù),其中是“倍約束函數(shù)”的為


  1. A.
    f(x)=2
  2. B.
    f(x)=數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    f(x)=x2
  4. D.
    f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|成立

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