Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+x}$+ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1．
注：函數(shù)ln（1+x）的導(dǎo)函數(shù)為$\frac{1}{1+x}$（x＞-1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]，求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可證明h（x）在（0，1）上是減函數(shù)，從而可證明h（x）＜0，從而證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$+$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$，
故當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，
令h（x）=f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]，
則h′（x）=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x²-x
=x（$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x-1），
∵0＜x＜1，
∴x＞0，$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-3（ln2-1）x-1＜$\frac{1}{（1+x）^{2}}$-1＜0，
∴h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
故h（x）＜h（1）=$\frac{1}{2}$+ln2-（ln2-1+$\frac{1}{2}$+1）=0，
故f（x）-[（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1]＜0，
即f（x）＜（ln2-1）x³+$\frac{1}{2}$x²+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．