Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P，B在橢圓上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直線BD的方程；
（2）求直線BD被過P，A，B三點(diǎn)的圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)向量相等求出四邊形DAPB為平行四邊形．進(jìn)一步利用向量的相等和點(diǎn)在橢圓上求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后求出直線的方程．
（2）首先根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)求出圓的方程的一般式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，再利用圓心到直線的距離求出弦心距，利用勾股定理求出所截得弦長．

解答 解：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P，B在橢圓上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
則：四邊形DAPB為平行四邊形．
已知點(diǎn)A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右頂點(diǎn)，
所以：A（3，0），
所以：AD=2，
點(diǎn)P，B在橢圓上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
則：y軸平分BP．
設(shè)：B（-1，y），P（1，y），
代入橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}=1$，
解得：y=2．
所以：B（-1，2），P（1，2），
所以直線BD的方程為：x+y-1=0．
（2）由（1）得：B（-1，2），P（1，2），A（3，0），
所以設(shè)經(jīng)過這三點(diǎn)的圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則：$\left\{\begin{array}{l}1+4-D+2E+F=0\\ 1+4+D+2E+F=0\\ 9+3D+F=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=0\\ F=-9\\ E=2\end{array}\right.$．
所以圓的方程為：x²+y²+2y-9=0，
即：x²+（y+1）²=10，
圓心坐標(biāo)為：（0，-1），半徑為$\sqrt{10}$，
則：圓心到直線BD的距離d=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
所截得的弦長為：$2l=2\sqrt{10-2}=4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓方程的應(yīng)用，相等向量的應(yīng)用，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的方程，圓的方程的一般式的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用．