Question

在等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)S_n為它的前n項(xiàng)和，若S₅=35，且點(diǎn)A（3，a₃）與點(diǎn)B（5，a₅）都在斜率為-2的直線(xiàn)上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a₃=7，再根據(jù)題中的條件可得：

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）并且結(jié)合S_n=

n(a1+an)

2

，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：S₅=35，即a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，
因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{a_n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a_m+a_n=a_p+a_q，
所以5a₃=35，即a₃=7．
因?yàn)辄c(diǎn)A（3，a₃）與點(diǎn)B（5，a₅）都在斜率為-2的直線(xiàn)上，
所以

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，即d=-2，
所以a₁=a₃-2d=11，
所以a_n=-2n+13，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+13．
（2）由（1）可得：S_n=

n(a1+an)

2

=12n-n²，
所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：n=6時(shí)，S_n取最大值36．

點(diǎn)評(píng)：本題值域考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式等知識(shí)點(diǎn)，此題屬于基礎(chǔ)題，是各類(lèi)考試命題的熱點(diǎn)之一．