Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當x∈[-1，1]時，f（x）=x²．
（1）求證：2是函數(shù)f（x）的一個周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函數(shù)解析式；
（3）是否存在整數(shù)k，使

f(x)+2kx-9

x

＞0對任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）可得結(jié)論．
（2）設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）當x∈[2k-1，2k+1]時，

f(x)+2kx-9

x

＞0?

x2-2kx+4k2

x

＞0恒成立，再用二次函數(shù)法求解．

解答：解：（1）因為f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函數(shù)f（x）的一個周期（2分）
（2）∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）當x∈[2k-1，2k+1]時，

f(x)+2kx-9

x

＞0?

x2-2kx+4k2

x

＞0
①當k≥1時，則2k-1≥1，∴x＞0
∴原題等價于x²-2kx+4k²-9＞0對任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
設(shè)g（x）=x²-2kx+4k²-9
當k≥1時，對稱軸x=k≤2k-1
則g（2k-1）=4k²-2k-8≥0，
解得k≥

1+ 33

3

或k≤

1- 33

4

∴整數(shù)k≥2（10分）
②當k≤-1時，則2k+1≤-1，∴x＜0，
∴原題等價于x²-2kx+4k²-9＜0對任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立，
設(shè)g（x）=x²-2kx+4k²-9
當k≤-1時，對稱軸x=k≥2k+1
則g（2k-1）=4k²-2k-8＞0，
解得

1- 33

3

＜k＜

1+ 33

4

∴整數(shù)k=-1（14分）
③當k=0時，原命題等價于

x2-9

x

＞0對任意x∈[-1，1]恒成立
當x=1時，則-8＞0顯然不成立∴k≠0（15分）
綜上所述，所求k的取值范圍是[2，+∞）∪-1．（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性及用周期性求函數(shù)解析式，這類問題要注意轉(zhuǎn)化自變量所在區(qū)間是關(guān)鍵．還考查了恒成立問題，要通過函數(shù)類型來求最值解決，本題用的是二次函數(shù)法，對稱軸與區(qū)間的相對位置，即研究了單調(diào)性，也明確了自變量的正負，題目設(shè)計可謂巧妙．