Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁＜0且a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，設(shè)b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），當(dāng){b_n}的前n項和S_n取最小值時，n的值為（ ）
A．48
B．50
C．48或50
D．48或49

Answer 1

【答案】分析：由數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，由a₁小于0，得到a₁₀₀大于0，可得此數(shù)列為遞增數(shù)列，進(jìn)而得到a₅₀小于0，a₅₁大于0，即此數(shù)列的前50項均為負(fù)值，從51項開始變?yōu)樨?fù)值，根據(jù)b_n=a_na_n+1a_n+2，表示出{b_n}的前n項和S_n，利用兩數(shù)相乘取符號的法則，即可得到{b_n}的前n項和S_n取最小值時n的值．
解答：解：∵等差數(shù)列{a_n}，
∴a₁+a₁₀₀=a₂+a₉₉=…=a₅₀+a₅₁，
又a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，
∴50（a₁+a₁₀₀）=50（a₅₀+a₅₁）=0，即a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，
又a₁＜0，∴a₁₀₀＞0，即等差數(shù)列為遞增數(shù)列，
∴a₅₀＜0，a₅₁＞0，
∵b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），
∴{b_n}的前n項和S_n=a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2，
則當(dāng){b_n}的前n項和S_n取最小值時，n的值為48或50．
故選C
點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題．其中根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0是解本題的關(guān)鍵．