Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知向量

a

、

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，點(diǎn)Q滿足

OQ

=

2

（

a

+

b

），曲線C={P|

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域Ω={P|0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線，則（　　）

• A、1＜r＜R＜3
• B、1＜r＜3≤R
• C、r≤1＜R＜3
• D、1＜r＜3＜R

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：不妨令

a

=（1，0），

b

=（0，1），則P點(diǎn)的軌跡為單位圓，Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域?yàn)椋阂訯點(diǎn)為圓心，內(nèi)徑為r，外徑為R的圓環(huán)，若C∩Ω為兩段分離的曲線，則單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外圓均相交，進(jìn)而根據(jù)圓圓相交的充要條件得到答案．

解答：解：∵平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知向量

a

、

b

，|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
不妨令

a

=（1，0），

b

=（0，1），
則

OQ

=

2

（

a

+

b

）=（

2

，

2

），

OP

=

a

cosθ+

b

sinθ=（cosθ，sinθ），
故P點(diǎn)的軌跡為單位圓，
Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域?yàn)椋?br />以Q點(diǎn)為圓心，內(nèi)徑為r，外徑為R的圓環(huán)，
若C∩Ω為兩段分離的曲線，
則單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外圓均相交，
故|OQ|-1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知分析出P的軌跡及Ω={P|（0＜r≤|

PQ

|≤R，r＜R}表示的平面區(qū)域，是解答的關(guān)鍵．