Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，設函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z內(nèi)，則b-a的最小值為（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

Answer 1

【答案】分析：可通過導數(shù)法求得f（x）與g（x）的零點，從而可得f（x+3）和g（x-4）的零點，繼而可求得F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具體區(qū)間，從而可求得b-a的最小值．
解答：解：∵f（x）=1+x-+-+…+，
∴f′（x）=（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²
=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
當x=-1時，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，
當x≠-1時，f′（x）=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
=（1-x）•+x²⁰¹²
=＞0，
∴f（x）=1+x-+-+…+在R上單調(diào)遞增；
又f（0）=1，
f（-1）=----…-＜0，
∴f（x）=1+x-+-+…+在（-1，0）上有唯一零點，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零點．
∵g（x）=1-x+-+-…-，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹²
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減；
又g（1）=（-）+（-）+…+（-）＞0，
g（2）=-1+（-）+（-）+…+（-），
∵n≥2時，-=＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零點，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零點．
∵函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-4），
∴F（x）的零點即為f（x+3）和g（x-4）的零點．
∴F（x）的零點區(qū)間為（-4，-3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）_min=6-（-4）=10．
故選C．
點評：本題考查函數(shù)的零點，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理的應用，考查綜合分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于難題．