（1）當n∈N+時，求證：
1
2
≤
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＜1；
（2）當n∈N+時，求證：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2．
分析：（1）利用 
1
2n
+
1
2n
+
1
2n
+…+
1
2n
≤
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＜
1
n
+
1
n
+…+
1
n
，進行放縮．
 （2）利用 1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1+
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)×n
 
=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n
=2-
1
n
，得到要證的結(jié)果．
解答：解：（1）證明：∵
1
2n
+
1
2n
+
1
2n
+…+
1
2n
≤
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＜
1
n
+
1
n
+…+
1
n
，
∴
1
2
≤
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＜1，故不等式成立．
 （2）證明：∵1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1+
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)×n
 
=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n
=2-
1
n
＜2，
即 1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2．
點評：本題考查用放縮法證明不等式，掌握好放縮的程度，是解題的難點．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項為1，前n項和為Sn，且滿足an+1=3Sn，n∈N*．數(shù)列{bn}滿足bn=log4an．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）當n≥2時，試比較b1+b2+…+bn與
1
2
(n-1)2的大小，并說明理由；
（3）試判斷：當n∈N*時，向量
a
=（an，bn）是否可能恰為直線l：y=
1
2
x+1的方向向量？請說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=a2=1，當n∈N*時，滿足an+2=an+1+an，且設(shè)bn=a4n．求證：數(shù)列{bn}各項均為3的倍數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=
1
2
．
（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設(shè)an=n•f（n），n∈N*，求證a1+a2+a3+…+an＜2；
（3）設(shè)bn=（9-n）
f(n+1)
f(n)
，n∈N*，Sn為bn的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，當n∈N+時，Sn=an-n-1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想an，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想；
（3）已知
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
，求a的取值范圍．

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