Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=a₂=1，當(dāng)n∈N^*時，滿足a_n+2=a_n+1+a_n，且設(shè)b_n=a_4n．求證：數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為3的倍數(shù)．

Answer 1

分析：由于要證的是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可用數(shù)學(xué)歸納法證之，這里要注意數(shù)列{a_n}是由遞推關(guān)系給出的．

解答：證明：（1）∵a₁=a₂=1，故a₃=a₁+a₂=2，a₄=a₃+a₂=3，
∴b₁=a₄=3，即當(dāng)n=1時，b₁能被3整除．
（2）假設(shè)n=k時，即b_k=a_4k是3的倍數(shù)．
則n=k+1時，
b_k+1=a_4（k+1）=a_（4k+4）=a_4k+3+a_4k+2
=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+1+a_4k
=3a_4k+1+2a_4k．
由歸納假設(shè)，a_4k是3的倍數(shù)，故可知b_k+1是3的倍數(shù)．
∴n=k+1時命題正確．
綜合（1）（2），可知對任意正整數(shù)n，數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)都是3的倍數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查由遞推式給出的數(shù)列中的證明問題，屬中檔題，數(shù)列問題與正整數(shù)有關(guān)，所以其中證明問題可考慮數(shù)學(xué)歸納法．