Question

已知函數f（x）=

3

sinωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ωx-

π

3

）-1，（ω＞0，x∈R），且函數f（x）的最小正周期為π；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調增區(qū)間．
（3）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和公式對函數解析式化簡，根據周期求得ω，則函數解析式可得．
（2）利用正弦函數的單調性求得函數f（x）的單調性增區(qū)間．
（3）根據x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，最后根據正弦函數的性質求得函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數的單調增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
即函數的值域為[-2，1]．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．綜合考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．