Question

2．已知向|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2．
（1）若|$\overrightarrow a$|與|$\overrightarrow b$|的夾角為$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|；
（2）若（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3，求|$\overrightarrow a$|與|$\overrightarrow b$|夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積求模長即可；
（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積求向量的夾角即可．

解答 解：（1）因為|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=2，且|$\overrightarrow a$|與|$\overrightarrow b$|的夾角為$\frac{π}{3}$，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{3}$=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
所以|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{4\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{1+4×1+4×4}$
=$\sqrt{21}$；
（2）因為（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=3，
所以（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$
=6-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-4
=3，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1，
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|cosθ=1×2×cosθ=-1，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
所以向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求模長與夾角的應用問題，是基礎題目．