Question

定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（）=f（x），且當0≤x₁＜x₂≤1時f（x₁）≤f（x₂），則f（）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（）=f（x）⇒f（）=；反復利用f（）=f（x）⇒f（）=f（）= ①；再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，同理反復利用f（）=f（x）⇒f（）=f（）= ②；又0≤x₁＜x₂≤1時f（x₁）≤f（x₂），而從而可求得f（）的值．
解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（）=f（x），
∴當x=1時，f（）=f（1）=；
令x=，由f（）=f（x）得：
f（）=f（）=；
同理可求：f（）=f（）=；
f（）=）=f（）=；
f（）=f（）= ①
再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，
∴f（）+f（1-）=1，解得f（）=，
令x=，同理反復利用f（）=f（x），
可得f（）=）=f（）=；
f（）=f（）=；
…
f（）=f（）= ②
由①②可得：，有f（）=f（）=，
∵0≤x₁＜x₂≤1時f（x₁）≤f（x₂），而0＜＜1
所以有f（）≥f（）=，
       f（）≤f（）=；
故f（）=．
故選C．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，難點在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，兩次賦值后都反復應用f（）=f（x），分別得到關(guān)系式①②，從而使問題解決，屬于難題．