Question

設(shè)函數(shù)，
（1）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把a=2代入，在把所求不等式轉(zhuǎn)化為，最后分兩種情況分別求解即可；
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，對其函數(shù)值作差，整理后把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，（或恒成立），進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大最小值問題即可．
解答：解：（1）a=2時，f（x）≥f（1）可化為：，等價于：①或   ②
解①得 ，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集為  ．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，則

要使函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，需且只需：恒成立，（或恒成立）．
因此，只要求出在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
為了探求這個代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此時→+∞；
若考慮x₁＜x₂→+∞，則不難看出，此時→1，至此我們可以看出：要使得函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，只需a≤1．
事實上，當(dāng)a≤1時，由于恒成立，
所以，．所以，在條件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞1時，由（1）可以看出：特例a=2的情況下，存在．
由此可以猜想：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
為了說明這一點，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
簡便起見，不妨取x₁=1，此時，可求得，也即：，所以，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)．
另解：，對x∈[1，+∞），易知：
當(dāng)x→1時，；當(dāng)x→+∞時，；
所以當(dāng)x∈[1，+∞）時，，
從而只須a≤1，必有f'（x）＜0，函數(shù)在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞減．
點評：本題主要考察一元二次不等式的應(yīng)用以及恒成立問題．第二問難度較大，建議程度不太好的學(xué)生只研究第一問即可．