Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+9

x

，請利用單調(diào)性定義判斷f（x）在[1，3]上的單調(diào)性，并求函數(shù)在[1，3]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：直接利用單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，證明f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，然后求解函數(shù)的最值．

解答： （本小題滿分14分）
解：在[1，3]上任取x₁＜，x₂且x₁＜x₂，…（2分）
則f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +9

x1

-

x 2 2 +9

x2

=

(x1-x2)(x1x2-9)

x1x2

…（6分）
∵1≤x₁＜x₂≤3∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，…（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）是在[1，3]上的減函數(shù)．…（10分）
∴f（x）_min=f（3）=6，f（x）_max=f（1）=10
因此，函數(shù)在[1，3]上的值域為[6，10]…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，單調(diào)性的應(yīng)用，基本知識的考查．