Question

3．下列函數(shù)中，既為奇函數(shù)又在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減的是（　�。�

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$
• C． f（x）=-x
• D． f（x）=x+$\frac{3}{x}$

Answer 1

分析 可以看出f（x）=x³為增函數(shù)，而$f（x）={x}^{-\frac{1}{2}}$的定義域為（0，+∞），定義域不關于原點對稱，從而判斷該函數(shù)不是奇函數(shù)，這樣便可判斷A，B錯誤，而容易判斷C正確，對于選項D的函數(shù)，可以通過求導數(shù)，判斷其在（0，+∞）上的單調(diào)性，從而可說明D錯誤．

解答 解：A．f（x）=x³在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
B.$f（x）={x}^{-\frac{1}{2}}$的定義域為（0，+∞），不關于原點對稱，∴該函數(shù)非奇非偶；
C．f（x）=-x顯然為奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，∴該選項正確；
D.$f（x）=x+\frac{3}{x}$，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-3}{{x}^{2}}$，∴f（x）在$[\sqrt{3}，+∞）$單調(diào)遞增．
故選C．

點評 考查對函數(shù)f（x）=x³的單調(diào)性的掌握，奇函數(shù)的定義域的特點，以及一次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．