Question

14．若函數(shù)f（x）=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|-a的圖象與x軸恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2）∪（6，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|的圖象和直線y=a有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|-a的圖象與x軸恰有
四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即函數(shù)y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|的圖象和直線y=a有
4個(gè)交點(diǎn)．
對(duì)于 y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|=
$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+4，x＞0}\\{x+\frac{1}{x}+4，x∈（-2-\sqrt{3}，-2+\sqrt{3}）}\\{-x-\frac{1}{x}-4，x≤-2-\sqrt{3}或-2+\sqrt{3}≤x＜0}\end{array}\right.$．
如圖所示：
則實(shí)數(shù)a∈（0，2）∪（6，+∞），
故答案為：（0，2）∪（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．