Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin$\frac{x}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（1-2sin²$\frac{x}{4}$，cosx），（其中x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求x的取值的集合；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t，當(dāng)x∈[0，π]是函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，可得sin（x-$\frac{π}{3}$）=0，從而求得x的取值的集合．
（2）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求得f（x），根據(jù)自變量的范圍，確定函數(shù)的零點(diǎn)，即求f（x）=0的根，進(jìn)一步求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴2sin$\frac{x}{2}$（1-2sin²$\frac{x}{4}$）-$\sqrt{3}$cosx=0，
⇒sinx-$\sqrt{3}$cosx=0，
⇒sin（x-$\frac{π}{3}$）=0，
∴解得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（2）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t=2sin$\frac{x}{2}$（1-2sin²$\frac{x}{4}$）-$\sqrt{3}$cosx-2t
=2sin（x-$\frac{π}{3}$）-2t，
∵在x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-2t有兩個(gè)零點(diǎn)
∴f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）=t在[0，π]上有兩個(gè)根，
∵x∈[0，π]，
∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴t∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的解析式的求法，以及在某一定義域下利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍問題．是很好的高考題型，屬于中檔題．