Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（其中a為常數(shù)且a＞0，且a≠1）．
（1）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）-m＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為f（x）＜m，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的f（x）的最大值即可．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）-m＜0恒成立，
即m＞f（x）恒成立，
若a＞1，則a²-1＞0，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上為增函數(shù)，
若0＜a＜1，則a²-1＜0，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上為增函數(shù)，
綜上函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a¹-a^-1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2}-1}{a}$=1，
則m＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用參數(shù)分類法是解決本題的關(guān)鍵不等式恒成立的常用方法．