Question

已知f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx，將f （x）的圖象向左平移

π

4

，再向上平移2個長度單位后，圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱．
（1）求實數(shù)a的值，并求f（x）取得最大值時x的集合；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求得將f（x）的圖象變換后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 g（x）=2sin2x+2

3

a•cos2x，由g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，g（0）=g（

π

6

），求得a的值，從而求得f（x）的解析式，由此可得f（x）的最大值．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵已知f(x)=-4cos2x+4

3

asinxcosx=-2-2cos2x+2

3

a•sin2x，
將f（x）的圖象向左平移

π

4

所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=-2-2cos2（x+

π

4

）+2

3

a•sin2（x+

π

4

）=-2+2sin2x+2

3

a•cos2x，
 再把所得圖象向上平移2個長度單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin2x+2

3

a•cos2x，
∴g（x）=2sin2x+2

3

a•cos2x．
∵g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，∴有g(shù)（0）=g（

π

6

），即2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1．   
則f（x）=2

3

sin2x-2cos2x-2=4sin（2x-

π

6

）-2．  
當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

3

時，f（x）取得最大值2．
因此，f（x）取得最大值時x的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，重點考查正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)與單調(diào)性，難點是輔助角公式的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．