Question

20．已知P點(diǎn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則這樣的點(diǎn)P有4個(gè)．

Answer 1

分析 設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，由橢圓的定義可知t₁+t₂=2a，利用余弦定理求得t₁²+t₂²-2t₁t₂=2a²，即可求得t₁t₂的值，運(yùn)用橢圓的第二定義，表達(dá)出t₁和t₂，
即可求得x₀的值，代入橢圓方程求得y₀的值，寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），由題意可知：設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=2a，
兩邊平方得：t₁²+t₂²+2t₁t₂=4a²①，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可知：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²，②，
①-②得t₁t₂=$\frac{4}{3}$b²，
運(yùn)用橢圓的第二定義，即有焦半徑公式，
t₁=e（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=a+ex₀，t₂=a-ex₀，
∴a²-e²x₀²=$\frac{4}{3}$b²，
解得：x₀=±$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-^{2}}{3}}$，
代入橢圓方程求得：y₀=±$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$，
寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-^{2}}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$）（$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-^{2}}{3}}$，-$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$）（-$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-^{2}}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$）（-$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-^{2}}{3}}$，-$\frac{\sqrt{3}^{2}}{3c}$）
∴這樣的P有四個(gè)，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的兩個(gè)定義，考查余弦定理，關(guān)鍵是應(yīng)用橢圓的定義和余弦定理以及焦半徑公式轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．